题目内容

已知等腰Rt△OAA₁，∠A=90°，OA=AA₁=1，以OA₁为直角边按逆时针方向作第2个等腰Rt△OA₁A₂，按此作法下去，可以得到第3个等腰Rt△OA₂A₃，第4个等腰Rt△OA₃A₄，…，第n个等腰Rt△OA_n-1A_n（如图所示）．
（1）求第1个等腰直角三角形的面积；
（2）求第5个等腰直角三角形的面积；
（3）根据规律直接写出第n个等腰Rt△OA_n-1A_n的面积．

解：（1）∵∠A=90°，OA=AA₁=1，
∴第1个等腰直角三角形的面积= $\text{[math]}$ ×1×1= $\text{[math]}$ ；

（2）∵∠A=90°，OA=AA₁=1，
∴OA₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ ，
同理，OA₂= $\text{[math]}$ OA₁= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²，
…，
第5个等腰直角三角形直角边OA₄=（ $\text{[math]}$ ）⁴=4，
所以，第5个等腰直角三角形的面积= $\text{[math]}$ ×4×4=8；

（3）根据（2）的规律，第n个等腰直角三角形的直角边OA_n-1=（ $\text{[math]}$ ）^n-1，
所以，第n个等腰Rt△OA_n-1A_n的面积= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）^n-1×（ $\text{[math]}$ ）^n-1= $\text{[math]}$ ×2^n-1=2^n-2．
分析：（1）根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解；
（2）根据等腰直角三角形的性质，斜边是直角边的 $\text{[math]}$ 倍，求出第5个等腰直角三角形的直角边，然后利用面积公式列式计算即可得解；
（3）根据后一个三角形的直角边是前一个三角形的直角边的 $\text{[math]}$ 倍，表示出等腰Rt△OA_n-1A_n的直角边，再利用面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，根据后一个三角形的直角边是前一个三角形的直角边的 $\text{[math]}$ 倍，表示出第n个等腰直角三角形的直角边是解题的关键．