Question

如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°，
（1）求证：△AOF∽△BEO；
（2）求AF•BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM•ON的值；
（4）求线段EF长的最小值．（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时，x+y=(

x

-

y

)2+2

xy

或x+

1

x

=(

x

-

1

x

)2+2）

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，得∠A=∠B=45°；根据三角形的外角的性质，得∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，结合∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，证明∠AFO=∠BOE，从而根据两角对应相等，即可证明△AOF∽△BEO；
（2）根据相似三角形的性质，得

BE

OA

=

OB

AF

，即AF•BE=4；
（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．根据等腰直角三角形的性质，可以分别用a表示ME，DF，BN的长；根据△MOE∽△DOF，就可求得OM•ON的值；
（4）用a和b表示EF的长，从而分析EF的最小值．

解答：（1）证明：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE．
∴△AOF∽△BEO．

（2）∵△BOE∽△AOF，
∴

BE

OA

=

OB

AF

，
∴AF•BE=4．

（3）作斜边AB上的高OD，并记OM=a，ON=b．
则易得ME=2-a，OD=

2

，FB=

2

BN=

2

（2-b），
DF=BD-BF=

2

-

2

（2-b）=

2

（b-1），
∵∠EMO=∠ODF=90°，
∵∠EOF=45°，
∵∠MOE+∠EOD=∠FOD+∠EOD=45°
∴∠MOE=∠DOF，
∴△MOE∽△DOF，
∴

ME

DF

=

OM

OD

，
∴

2-a

2 (b-1)

=

a

2

，
∴ab=2，
即OM•ON=2．
（4）解：EF=AB-AE-BF=2

2

-

2

(2-a)-

2

(2-b)=

2

(a+b)-2

2

=

2

(

a

-

b

)2+2

2ab

-2

2

=

2

(

a

-

b

)2+4-2

2

，
所以，当

a

=

b

，a=b=

2

时，EF取得最小值4-2

2

．

点评：此题综合考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及函数的最小值的求法．