Question

【题目】阅读下列材料，解决材料后的问题：

材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝，例如17与16的友好数为f（17，16）＝＝．

材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：

[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……

（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；

（2）已知[a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；

（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝，且m≥2x+，请求f（x，m2﹣m）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝时，y有最大值是﹣，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是﹣．

【解析】

（1）由题意得到，计算即可得到答案；

（2）由题意得到，解不等式即可得到答案；

（3）先由题意得到，则，设，由题意得到，设y＝﹣2m2+3m﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案.

解：（1）∵f（x2+2，1）＝2，

∴，

∴x2＝4，

∴x＝±2；

（2）∵[x]≤x＜[x]+1，

∴，

解得﹣4≤a＜﹣2；

（3）∵x﹣2[x]＝，

∴[x]＝，

∴，

∴，

设，

又x＝2k+，

∴,

∴整数k＝﹣3，

∴x＝，

又，

∴f（x，m2﹣m），

＝，

＝，

＝，

设y＝﹣2m2+3m﹣4，

则y＝﹣2（m）2，

∵﹣2＜0，

∴当m＝时，y有最大值是，此时f（x，m2﹣m）有最小值，最小值是＝﹣，

此时最小值为﹣．