Question

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点P为线段AB上一动点，直线PQ⊥AC于点Q，点A关于PQ的对称点A′落在直线AC上，若△A′PC为等腰三角形，则AP的长为$\frac{20}{13}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，再根据轴对称的性质解答即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∵直线PQ⊥AC于点Q，点A关于PQ的对称点A′落在直线AC上，
∴PA=PA'，AQ=A'Q，
∵△A′PC为等腰三角形，
∴PA'=A'C，
∵PQ⊥AC，∠ACB=90°，
∴设PA=5x，AQ=QA'=4x，A'C=PA'=PA=5x，
∴4x+4x+5x=4，
解得：x=$\frac{4}{13}$，
∴PA=$5×\frac{4}{13}=\frac{20}{13}$．
故答案为：$\frac{20}{13}$

点评 本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质；关键是由勾股定理求出AB进行解答．