Question

1．如图，在一个坡度i=1：7的斜坡面BD上，架设两根高度均为10米的电杆DC和BA，水平距离DE为14米，电线在空中架设时，A、C两端挂起的电线下垂近似成抛物线y=$\frac{1}{98}$x²形状，在竖直方向上，求下垂电线与坡面的距离MF的最小值．

Answer 1

分析 以点A为原点，建立坐标系，由在一个坡度i=1：7的斜坡面BD上，水平距离DE为14米，求得BE=2m，设A点坐标为原点，根据架设两根高度均为10米的电杆DC和BA，求得C（14，-2），设此抛物线解析式为：y=$\frac{1}{98}$x²+bx，把C（14，-2）代入-2=$\frac{1}{98}$×14²+b×14，解得b=-$\frac{2}{7}$，于是得到y=$\frac{1}{98}$x²-$\frac{2}{7}$x=$\frac{1}{98}$（x²-28x）=$\frac{1}{98}$（x-14）²-2，设抛物线的顶点为M，则M（14，-2），由C（14，-2），求得M与C重合，过C作CH⊥BD于H，得到△CDH∽△DBE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图，以点A为原点，建立坐标系，
∵在一个坡度i=1：7的斜坡面BD上，水平距离DE为14米，
∴BE：DE=1：7，
∴BE=2m，
设A点坐标为原点，
∵架设两根高度均为10米的电杆DC和BA，
∴C（14，-2），
∵A、C两端挂起的电线下垂近似成抛物线y=$\frac{1}{98}$x²形状，
∴设此抛物线解析式为：y=$\frac{1}{98}$x²+bx，
-2=$\frac{1}{98}$×14²+b×14，
解得：b=-$\frac{2}{7}$，
∴y=$\frac{1}{98}$x²-$\frac{2}{7}$x=$\frac{1}{98}$（x²-28x）=$\frac{1}{98}$（x-14）²-2，
∴设抛物线的顶点为M，则M（14，-2），∵C（14，-2），
∴M与C重合，
过C作CH⊥BD于H，∴△CDH∽△DBE，
∴$\frac{CH}{DE}=\frac{CD}{DB}$，
∵DB=$\sqrt{{2}^{2}+1{4}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
∴CH=7$\sqrt{2}$，
∴下垂电线与坡面的距离MF的最小值是7$\sqrt{2}$m．

点评 本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用二次函数的性质是解题的关键．