题目内容
已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是______、面积是______、高BE的长是______；
（2）探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值．
【答案】分析：（1）已知C，D的坐标，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的长即菱形的边长．菱形的面积就是4个Rt△COD的面积．BE的长可用菱形的面积和菱形的边长来求得．
（2）①求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．
②若要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，那么△APQ需满足的条件为△APQ为等腰三角形．因此可分两种情况进行讨论：
第一种情况：当Q在CB上时（图2）；
由于AP=4＜BE，而BE是AD，BC间的最短的线段，因此只有一种情况即AQ=PQ，可仿照二的方法，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，可通过相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ1F，求出FM的长；而Q1M=BE，因此可求出Q1F的长，在直角三角形CQ1F中，可根据∠ACB的正切值求出CQ1的长，然后根据t=4即可求出k的值．
第二种情况：当Q在AB上时；
一，AP=AQ（图3），此时P，Q2关于x轴对称，已知了AP=t=4，因此Q运动的路程为CB+AB-AP=6，根据t=4即可求出k的值．
二，AP=PQ（图4），如果过P作PM⊥AB于B，那么△ANP∽△AEB，可根据相似得出的比例线段求出AN的长，也就能求出AQ3的长，然后根据一的方法求出k的值．
解答：
解：（1）菱形ABCD的边长是5，面积是24，高BE的长是
；
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴
，
∴QG=
，
∴S=
AP•QG=-
t2+
t
（
≤t＜5）．
∵S=-
（t-
）2+6（
≤t＜5）．
∴当t=
时，S最大值为6．
②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可．
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4．
以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q1，使Q1A=Q1P．
如图2，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，则AM=
AP=2．
由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得
，
∴FM=
，
∴
．
∴CQ1=
=
．则
，∴
．
第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2，Q3，
分别使AP=AQ2，PA=PQ3．
①若AP=AQ2，如图3，CB+BQ2=10-4=6．
则
，
∴k=
．
②若PA=PQ3，如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得
．
∵AE=
，
∴AN=
．
∴AQ3=2AN=
，
∴BC+BQ3=10-
则
．
∴
．
综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为
或
或
．
点评：本题主要考查了菱形的性质，图形的翻折变换，相似三角形的性质以及二次函数等知识点，要注意（3）中，要跟Q点位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
（2）①求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．
②若要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，那么△APQ需满足的条件为△APQ为等腰三角形．因此可分两种情况进行讨论：
第一种情况：当Q在CB上时（图2）；
由于AP=4＜BE，而BE是AD，BC间的最短的线段，因此只有一种情况即AQ=PQ，可仿照二的方法，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，可通过相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ1F，求出FM的长；而Q1M=BE，因此可求出Q1F的长，在直角三角形CQ1F中，可根据∠ACB的正切值求出CQ1的长，然后根据t=4即可求出k的值．
第二种情况：当Q在AB上时；
一，AP=AQ（图3），此时P，Q2关于x轴对称，已知了AP=t=4，因此Q运动的路程为CB+AB-AP=6，根据t=4即可求出k的值．
二，AP=PQ（图4），如果过P作PM⊥AB于B，那么△ANP∽△AEB，可根据相似得出的比例线段求出AN的长，也就能求出AQ3的长，然后根据一的方法求出k的值．
解答：
解：（1）菱形ABCD的边长是5，面积是24，高BE的长是
；（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴
，∴QG=
，∴S=
AP•QG=-
t2+
t（
≤t＜5）．∵S=-
（t-
）2+6（
≤t＜5）．∴当t=
时，S最大值为6．②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可．
当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4．以下分两种情况讨论：
第一种情况：当点Q在CB上时，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q1，使Q1A=Q1P．
如图2，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，则AM=
AP=2．由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得
，∴FM=
，∴
．∴CQ1=
=
．则
，∴
．
第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2，Q3，分别使AP=AQ2，PA=PQ3．
①若AP=AQ2，如图3，CB+BQ2=10-4=6．
则
，∴k=
．②若PA=PQ3，如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，
由△ANP∽△AEB，得
．∵AE=
，
∴AN=
．∴AQ3=2AN=
，∴BC+BQ3=10-
则
．∴
．综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ
沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为
或
或
．点评：本题主要考查了菱形的性质，图形的翻折变换，相似三角形的性质以及二次函数等知识点，要注意（3）中，要跟Q点位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．
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