Question

19．已知D为△ABC边BC上的一个动点（不与B，C重合），过D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F．
（1）证明：△BDE∽△DCF；
（2）若△ABC的面积为10，点G为线段AF上的任意一点，设FC：AC=n，△DEG的面积为S，求S关于n的关系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）根据相似三角形的性质和二次函数的最值解答即可．

解答 解：（1）∵DF∥AB，
∴△DFC∽△BAC，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC
∴△DFC∽△BED；
（2）∵△BED∽△DFC∽△BAC，FC：AC=n，△ABC的面积为10，
∴${（\frac{CF}{CA}）^2}=\frac{{{S_{△DFC}}}}{10}$，${S_{△DFC}}=10{n^2}$，${（\frac{BD}{BC}）^2}=\frac{{{S_{△DEB}}}}{10}$，${S_{△DEB}}=10{（1-n）^2}$，${S_{AEDF}}=10-10{n^2}-10{（1-n）^2}$，
∵点G为线段AF上的任意一点，$S=\frac{1}{2}{S_{AEDF}}$，
∴S=-10n²+10n=-10$（n-\frac{1}{2}）^{2}+2.5$，
∴S的最大值是2.5．

点评 此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质进行解答．