Question

如图，在直角坐标系中，△AOB为直角三角形，∠ABO=90°，点A在x轴的负半轴上，点B坐标为（-1，2）．将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A′OB′．
（1）求点A′的坐标；
（2）将△AOB以每秒1个单位的速度沿着x轴向右平移，问：几秒钟后，点B移动到直线A′B′上？；
（3）在第（2）小题的移动过程中，设移动x秒后，△AOB与△A′OB′的重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）通过作BC⊥AO，利用点B的坐标求出BC、BO、CO的长，根据三角形相似求出OA的长，从而求出A'的坐标．
（2）利用三角形全等和相似求出B'的坐标．求出A'B'的解析式，根据平移的性质，可以知道点B移动路径的解析式为y=2，求出连直线的交点坐标，就可以知道在平移中走的路程，从而求出运动的时间．
（3）利用三角形相似求出移动过程中重叠部分的面积，关键是在移动的过程中涉及两个不同的解析式，是一个分段函数，根据0≤t≤2.5和2.5＜t≤5，两种情况进行计算．

解答：解：（1）作BC⊥AO于点C．
∴∠ACB=∠BCO=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠CBO=90°，
∴∠A=∠CBO，
∴△ABC∽△BOC，
∴

AC

BC

=

BC

OC

，
∵点B坐标为（-1，2）．
∴OC=1，BC=2，
∴

AC

2

=

2

1

，
∴AC=4，
∴AO=5，
∴A′0=5，
∴A′（0，5）；

（2）连接BB′，作BF⊥BC交A′B′于F，作FE⊥x轴于E，B′D⊥x轴于点D．
∴由（1）知BF的解析式为y=2，由旋转可知△BOB′为等腰直角三角形．
∴△BOC≌△OB′D，
∴BC=OD，OC=B′D，
∴OD=2，B′D=1，
∴B′（2，1）．
设直线A′B′的解析式为：y=kx+b，
由题意得：

5=b 1=2k+b

，
解得：

k=-2 b=5

，
直线A′B′的解析式为：y=-2x+5
∵BF的解析式为：y=2，可以求得F（

3

2

，2）．
∴OE=

3

2

，
∴EC=

5

2

．
∴

5

2

秒钟后，点B移动到直线A′B′上．

（3）∵直线A′B′的解析式为：y=-2x+5，
∴当y=0时，x=2.5．
∴当0≤x≤2.5时，由题意得：
OO′=x，FO=5-x，
在Rt△AOB中，由勾股定理可以求出：
BO=

5

，AB=2

5

．
∵△FHO∽△AOB，
∴

HO

BO

=

FO

AB

，
∴

HO

5

=

5-x

2 5

，
解得：HO=

5-x

2

．
利用△ABO∽△OGO′求得：
GO′=

5 x

5

，GO=

2 5 x

5

，
y₁=

2 5 ×  5

2

-

(5-x) 5-x 2

2

-

5 x 5 • 2 5 x 5

2

y₁=-

9

20

x2+

5

2

x-

5

4

当2.5＜x≤5时，ON=5-x，△NOM∽△ABO，
∴

MO

5

=

5-x

2 5

，
解得：MO=

5-x

2

，
A′M=

5+x

2

，
y₂=

2 5 × 5

2

-

(5-x) 5-x 2

2

 -

5 5 +  5 x 10 • 5 5 + 5 x 5

2

y₂=-

3

10

x2+2x-

5

2

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了旋转，平移，三角形全等，三角形相似以及待定系数法求函数的解析式等多个知识点．难度较大．