Question

已知x₁，x₂是方程2x²-3x=1的两根．
（1）求

1

x1

+

1

x2

，（x₁-3）（x₂-3）和（x₁-x₂）²的值；
（2）如果有个方程的两根恰好分别是x₁，x₂的2倍，那么你会求这个方程吗？

Answer 1

分析：（1）先把方程化为一般式，利用根与系数得关系得到得x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=-

1

2

，然后利用代数式变形得到

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

；（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，再分别利用整体代入的方法计算；
（2）新方程的两根为2x₁，2x₂，再计算2x₁+2x₂，2x₁•2x₂，然后根据根与系数的关系写出方程．

解答：解：（1）方程变形为2x²-3x-1=0，
根据题意得x₁+x₂=

3

2

，x₁•x₂=-

1

2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

- 1 2

=-3；
（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=-

1

2

-3×

3

2

+9=4；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

3

2

）²-4×（-

1

2

）=

17

4

；
（2）根据题意得新方程的两根为2x₁，2x₂，
∵2x₁+2x₂=2（x₁+x₂）=2×

3

2

=3，2x₁•2x₂=4x₁•x₂=4×（-

1

2

）=-2，
∴所求新方程为x²-3x-2=0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．