Question

已知二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1），
（1）求证：当m≠-4时，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若这个二次函数的图象如图所示，求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，且|OA|•|OB|=6，求点A、B、C三点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵△=（m-2）²-4（-1）•3（m+1）=（m+4）²＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

（2）由图象可知，抛物线的对称轴在y轴的左侧，C点在x轴的上方，
所以，
解得-1＜m＜2；

（3）设方程-x²+（m-2）x+3（m+1）=0的两根为x₁、x₂，且x₁＜0，x₂＞0
由图可知|OA|=|x₁|，|OB|=|x₂|，由|OA|•|OB|=6，可知x₁x₂=-6
根据根与系数的关系，可知-3（m+1）=-6，
则m=1，于是二次函数的解析式为y=-x²-x+6，
令y=0，解方程-x²-x+6=0，得x₁=-3，x₂=2，
所以点A的坐标是（-3，0），
点B的坐标是（2，0），
把x=0代入y=-x²-x+6，得y=6，
所以C的坐标是（0，6）．
分析：（1）根据求得△值，再根据△＞0来判断二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）首先求得二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）图象顶点坐标，再根据顶点坐标符号来判断m的取值范围．
（3）将求二次函数y=-x²+（m-2）x+3（m+1）与x轴的交点转化为求方程-x²+（m-2）x+3（m+1）=0的解，再根据一元二次方程根与系数的关系，可求得m的值，再将m的值代入二次函数．由图中不难发现A、B点的是二次函数与x轴的交点，令y=0，求得A、B点坐标；C点是二次函数与x轴的交点，令x=0，求得y的值．至此三点坐标确定．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．