Question

如图，⊙O内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，AB的延长线与过点C的切线相交于点D，若⊙O的半径为1，则BD的长是（　　）

• A、

  -1+ 5

  2

• B、

  1+ 5

  2

• C、

  - 2 + 6

  2

• D、

  2 + 6

  2

Answer 1

分析：连接OB．根据圆周角定理求得∠AOB=2∠ACB=90°，再根据等腰直角三角形AOB求得AB的长；根据等边三角形OBC求得BC的长；根据等角对等边可以求得CD=BC=1，最后根据切割线定理即可求解．

解答：解：连接OB，
∵∠ACB=45°，∠AOC=150°，
∴∠AOB=90°，∠BOC=60°，
又OA=OB=OC=1，
∴△AOB是等腰直角三角形，△OBC是等边三角形，∠OAC=∠OCA=75°，
∴AB=

2

，BC=1，∠OAB=45°，∠OCB=60°．
∵CD切圆于点C，
∴∠OCD=90°，
∴∠CAD=30°，∠ACD=75°，
∴∠D=75°，
∴CD=BC=1．
根据切割线定理，得CD²=BD•AD，
设BD=x，则有x（x+

2

）=1，
x²+

2

x-1=0，
x=

- 2 ± 6

2

（负值舍去）．
故选C．

点评：此题综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、切割线定理．