Question

如图，在△ABC中，AB=AC，N是AB上任一点（不与A、B重合），过N作NM⊥AB交BC所在直线于M，
（1）若∠A=30°．求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：探究型

分析：（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．

解答：解：
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

180°-∠A

2

=90°-

1

2

∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=

1

2

∠A=15°；
（2）当∠A=68°时，同理仍有∠NMB=

1

2

∠A=34°；
（3）规律：∠NMB=

1

2

∠A，证明如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=

180°-∠A

2

=90°-

1

2

∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=

1

2

∠A；
（4）当∠A为钝角或直角时，仍然有∠NMB=

1

2

∠A．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键．