Question

【题目】已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：

(1)如图①所示，试说明OB∥AC；

(2)如图②，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF.则∠EOC的度数等于________(在横线上填上答案即可)；

(3)在(2)的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB∶∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

(4)在(3)的条件下，在平行移动AC的过程中，若使∠OEB＝∠OCA，此时∠OCA的度数等于________(在横线上填上答案即可).

Answer 1

【答案】 见解析 40° (3) 1∶2.(4) 60°

【解析】试题分析：（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；

（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=∠AOB=40°；

（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB，

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE，则∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=80°-x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°-x，解得x=20°，所以∠OCA=80°-x=60°．

试题解析：（1）∵BC∥OA，

∴∠B＋∠O＝180°，

∵∠A＝∠B，

∴∠A＋∠O＝180°，

∴OB∥AC；

（2）∵∠A＝∠B＝100°，由(1)得∠BOA＝180°－∠B＝80°，

∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，

∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，

∴∠EOC＝∠EOF＋∠FOC＝ (∠BOF＋∠FOA)＝∠BOA＝40°，

故答案为：40°；

（3）∠OCB∶∠OFB的值不发生变化，理由如下：

∵BC∥OA，

∴∠OFB＝∠FOA，∠OCB＝∠AOC.

∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠FOC＝∠OCB，

∴∠OFB＝∠FOA＝∠FOC＋∠AOC＝2∠OCB，

∴∠OCB∶∠OFB＝1∶2；

（4）由(1)知OB∥AC，

∴∠OCA＝∠BOC，由(2)可设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠AOC＝β，

∴∠OCA＝∠BOC＝2α＋β，∵BC∥OA，

∴∠OEB＝∠EOA＝α＋2β，

∵∠OEB＝∠OCA，

∴2α＋β＝α＋2β，

∴α＝β，

∵∠AOB＝80°，

∴α＝β＝20°，

∴∠OCA＝2α＋β＝40°＋20°＝60°.