Question

已知在平面直角坐标系中，点C（0，2），D（3，4），在x轴正半轴上有一点A，且它到原点的距离为1．
（1）求过点C、A、D的抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴的另一个交点为B，求四边形CABD的面积；
（3）把（1）中的抛物线先向左平移一个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点？

Answer 1

分析：（1）先设抛物线的解析式，然后将对应的三个点的值代入其中得出常数项的值，即可得到抛物线解析式；
（2）当函数值为0时，可得到抛物线与x轴的两个交点的坐标，故可求出AB的长度，过点D作x轴的垂线，用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得四边形CABD的面积；
（3）先写出向左平移一个单位的抛物线解析式，再设向上或向下平移k个单位的解析式，将其与直线AD的解析式组成一个方程组，解此方程组可得k的值，即再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点．

解答：解：（1）根据题意可知A的坐标为（1，0），
设过C、A、D三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c（a≠0），
∵C（0，2），A（1，0），D（3，4），
∴

c=2 a+b+c=0 9a+3b+c=4

，
解得

a= 4 3 b=- 10 3 c=2

，
故过C、A、D三点的抛物线的解析式为：y=

4

3

x2-

10

3

x+2；

（2）∵点B为抛物线与x轴的另一个交点，令y=0，
则

4

3

x2-

10

3

x+2=0，
∴x1=1，x2=

3

2

，
∴点B的坐标为(

3

2

，0)，
作DE⊥x轴于点E，
∴S_{四边形CABD}=S_梯形OEDC-S_△AOC-S_△BDE

= 1 2 ×(2+4)×3- 1 2 ×(2×1)- 1 2 ×(3- 3 2 )×4

=5；

（3）把抛物线y=

4

3

x2-

10

3

x+2，
即y=

4

3

(x-

5

4

)2-

1

12

，
向左平移一个单位得到的抛物线的解析式为：y=

4

3

(x-

5

4

+1)2-

1

12

，
即y=

4

3

x2-

2

3

x，
设抛物线y=

4

3

x2-

2

3

x向上或向下平移|k|个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点，
则向上或向下平移|k|个单位抛物线的解析式为：y=

4

3

x2-

2

3

x+k，
设过A、D两点的解析式为y=ax+b，
∵A（1，0），D（3，4），
代入上式得

a+b=0 3a+b=4

，
解得

a=2 b=-2

，
∴直线AD的解析式为：y=2x-2，
得

y= 4 3 x2- 2 3 x+k y=2x-2

，
∴4x²-8x+3k+6=0，
∴△=64-16（3k+6）=0，
解得，k=-

2

3

，
即抛物线y=

4

3

x2-

2

3

x向下平移

2

3

个单位，与直线AD只有一个交点．

点评：本题主要考查二次函数的综合运用，其中涉及四边形的面积，三角形的面积及抛物线的平移．