Question

如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．

Answer 1

分析：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由直线将平行四边形分成面积相等的两部分，得到此直线过平行四边形对角线的交点M，接下来求M的坐标，由平行四边形的对角线互相平分，得到M为AC的中点，再由ME与CF都与x轴垂直，得到ME与CF平行，可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得三角形AME与三角形ACF相似，由M为AC的中点得到相似三角形的相似比为1：2，可得E为AF的中点，由C的坐标得到AF与CF的长，又ME为三角形ACF的中位线，根据中位线定理得到ME为CF的一半，求出ME的长，由AE为AF的一半，求出AE的长，确定出M的坐标，把M的坐标代入直线方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，

∵C（10，4），
∴AF=10，CF=4，…（2分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AM=CM，即

AM

AC

=

1

2

，
∵ME⊥x轴，CF⊥x轴，
∴∠MEA=∠CFA=90°，
∴ME∥CF，
∴∠AME=∠ACF，∠AEM=∠AFC，
∴△AME∽△ACF，
∴

AM

AC

=

AE

AF

=

1

2

，即E为AF的中点，
∴ME为△AFC的中位线，…（4分）
∴AE=

1

2

AF=5，ME=

1

2

CF=2，
∴M（5，2），…（6分）
∵直线y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线y=ax-2a-1经过点M，…（8分）
将M（5，2）代入y=ax-2a-1得：a=1．…（9分）

点评：此题属于一次函数的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形中位线定理，其中根据题意得出直线过平行四边形的中心M是解本题的关键．