Question

已知在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
（1）当直线l：y=x+b与⊙O只有一个交点时，求b的值；
（2）当反比例函数y=

k

x

的图象与⊙O有四个交点时，求k的取值范围；
（3）试探究当n取不同的数值时，二次函数y=x²+n的图象与⊙O交点个数情况．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件得出两种符合要求的解析，利用等腰三角形的性质，分别求出即可；
（2）利用特殊点当反比例函数两曲线与圆相切时，求出DF=OF，从而得出xy的值，进而得出取值范围；
（3）根据当n＞1时，有0个交点；②当n=1时，有1个交点；③当-1＜n＜1时，有2个交点；④当n=-1时，有3个交点；
⑤当-1.25＜n＜-1时，有4个交点；⑥当n=-1.25时，⑦当n＜-1.25时，分别分析得出．

解答：解：（1）∵y=x+b与⊙O只有一个交点，
∴y=x+b与x轴，与y轴的交点坐标分别为：（±b，0），（0，±b），
∴△AOB为等腰直角三角形，CO=AC=BC=1，
∴b的值为：b=±

2

；

（2）∵反比例函数y=

k

x

的图象与⊙O有四个交点，
∵当图象与与⊙O有二个交点时，
曲线与圆相切，得出DF=OF=

2

2

，
∴xy=k=

1

2

，
∴-

1

2

＜k＜

1

2

(k≠0)；

（3）①当n＞1时，有0个交点；
②当n=1时，有1个交点；
③当-1＜n＜1时，有2个交点；
④当n=-1时，有3个交点；
⑤当-1.25＜n＜-1时，有4个交点；
⑥当n=-1.25时，有2个交点；
⑦当n＜-1.25时，有0个交点；
简解：∵x²+y²=1而y=x²+n即x²=y-n，
代入得y-n+y²=1，即y²+y-n-1=0，
要使二次函数图象与下半圆只有两个交点，根据对称性，y必须唯一，
∴△=4n+5=0，n=-

5

4

．

点评：此题主要考查了抛物线解析式的确定、以及反比例函数的性质和三角形面积的求法等重要知识点，此题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．