Question

14．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E=∠F时，则∠ADC=90°；
（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

Answer 1

分析 （1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；
（2）由∠A=55°，∠E=30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；
（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°，继而求得答案．

解答 解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，
∴∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ADC=90°．
故答案为：90°；

（2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，
∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°，
∴∠ADF=180°-∠ABE=85°，
∴在△ADF中，∠F=180°-∠ADF-∠A=40°；

（3）∵∠ADC=180°-∠A-∠F，∠ABC=180°-∠A-∠E，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴180°-∠A-∠F+180°-∠A-∠E=180°，
∴2∠A+∠E+∠F=180°，
∴∠A=90°-$\frac{∠E+∠F}{2}$=90°-$\frac{α+β}{2}$．

点评 此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆的内接四边形的性质．注意圆内接四边形的对角互补．