Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F．如果CD=16，AE=4，则BF为

 

．

Answer 1

分析：作辅助线AC构造直角三角形ACB，在Rt△ACB中利用射影定理求得BE=16；然后在直角三角形ACE中由勾股定理求得AC=4

5

；最后通过AA判定Rt△BEFR∽Rt△CAE，根据相似三角形的对应边成比例求得BF的长度．

解答：解：连接AC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD，∠ACB=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ACB中，CE²=AE•BE；
又果CD=16，AE=4，
∴BE=16；
在Rt△ACE中，AC=

AE2+CE2

=4

5

（勾股定理）；
∵EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠BEF=CAE（两直线平行，同位角相等）；
在Rt△BEFR和Rt△CAE中，
∠BEF=CAE，∠BFE=∠CEA=90°，
∴Rt△BEF∽Rt△CAE（AA），
∴

BE

AC

=

BF

AE

（相似三角形的对应边成比例），
∴BF=

16 5

5

；
故答案为：

16 5

5

．

点评：本题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理及垂径定理．解答此题时，通过作辅助线AC，利用圆周角定理来构造直角三角形、相似三角形Rt△BEF和Rt△CAE，然后通过解直角三角形求得BE、AC的长度，利用相似三角形的对应边成比例求得BF的长度．