Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相交于点D，与AB交于点E，AD平分∠FAB，连接ED并延长交AC的延长线于点F.

（1）求证：BC为⊙O的切线.

（2）求证：AE=AF；

（3）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AC= 8.

【解析】

（1）连接OD.证明OD⊥CB即可.

（2）根据切线的性质和平行线的性质解答即可；

（3）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可．

（1）证明：连接OD.

∵AD平分∠FAB

∴∠CAD=∠DAB

在⊙O中，OA=OD

∠DAB=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴AC∥OD

∴∠ODB=∠ACB=900

∴OD⊥CB

∴CB为⊙O的切线

（2）证明∵ OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵直线BC为⊙O的切线，

∴OD⊥BC．

∴∠ODB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥AC ．

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF．

（3）∵AE是⊙O的直径

∴∠ADE=90°．

∵AE=AF，

∴DF=DE=3.

∵∠ACB=90°．

∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．

在Rt△ADF中，

，

∴．

在Rt△CDF中，

，

∴．

∴AC=AF-CF=8.