Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB=__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

 

Answer 1

      （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，∠A=∠D=90°，

又∵M是AD的中点，

∴AM=DM．

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：四边形MENF是菱形．

证明如下：

∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，

∴NE∥MF，NE=MF．

∴四边形MENF是平行四边形．

由（1），得BM=CM，∴ME=MF．

∴四边形MENF是菱形．

（3）解：

当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：

∵M为AD中点，

∴AD=2AM．

∵AD：AB=2：1，

∴AM=AB．

∵∠A=90，

∴∠ABM=∠AMB=45°．

同理∠DMC=45°，

∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．

∵四边形MENF是菱形，

∴菱形MENF是正方形．