题目内容
25、如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请直接写出．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
（1）请你利用图2，选择Rt△ABC内的任意一点P按上述方法操作；
（2）经历（1）之后，观察两图形，猜想线段DE和线段BC之间有怎样的数量和位置关系？请选择其中的一个图形证明你的猜想；
（3）观察两图，你还可得出和DE相关的什么结论？请直接写出．
分析：（1）根据要求画图即可．
（2）选择图1，根据平行四边形的性质，证明△PMA≌△EMB，然后再证明四边形DEBC是平行四边形，得出结论．
（3）DE∥BC，DE=BC．
（2）选择图1，根据平行四边形的性质，证明△PMA≌△EMB，然后再证明四边形DEBC是平行四边形，得出结论．
（3）DE∥BC，DE=BC．
解答：解：（1）如图．
（2）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．在图1中连接BE．
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
∴△PMA≌△EMB．
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB．
∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC．
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∴DE⊥BC．
（3）DE∥BC，DE=BC．
（2）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．在图1中连接BE．
∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，
∴△PMA≌△EMB．
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB．
∴PA∥BE．
∵平行四边形PADC，
∴PA∥DC，PA=DC．
∴BE∥DC，BE=DC．
∴四边形DEBC是平行四边形．
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∴DE⊥BC．
（3）DE∥BC，DE=BC．
点评：本题考查平行四边形的性质的运用．解题关键是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关的证明．
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