Question

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB．
（1）证明：直线BC是小圆的切线；
（2）试证明：AC+AD=BC；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积．

Answer 1

（1）证明：作OE⊥BC于E；
∵CA是圆O的切线，
∴OA⊥CA，
∵CO平分∠ACB，
∴OE=OA，
∵A在小圆O上，
∴E也在小圆O上，
∴BC是小圆的切线．

（2）证明：连接OD，
∵AC、BC是小⊙O的切线，
∴AC=CE，
在直角△AOD与直角△EOB中，
∵，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB（HL），得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）解：由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，
S_圆环=S_大圆-S_小圆
=π（OB²-OE²）
=π•BE²
=16π（cm²）．
分析：（1）作OE⊥BC于E，可证OE=OA，
（2）连接OD，由（1）知AC=CE，再证△AOD≌△EOB，得AD=BE，
（3）由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，S_圆环=S_大圆-S_小圆．
点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，①已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，②所证切线与圆的交点不明确，可以过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径．