Question

22、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB．
（1）证明直线BC是小圆的切线；
（2）试证明：AC+AD=BC；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积．

Answer 1

分析：（1）作OE⊥BC于E，可证OE=OA，
（2）连接OD，由（1）知AC=CE，再证△AOD≌△EOB，得AD=BE，
（3）由（2）可得BE=4，S_圆环=S_大圆-S_小圆．

解答：证明：（1）作OE⊥BC于E；
∵CO=CO，∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠OEC，
∴△OAC≌△OEC，
∴OE=OA，∴BC是小圆的切线．

（2）连接OD，
在直角三角形AOD与直角三角形EOB中，
∵OD=OB，OA=OE，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB，得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）由（2）可得BE=4，S_圆环=S_大圆-S_小圆
=π（OB²-OE²）
=π•BE²=16π（cm²）．

点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．