Question

如图，在平面直角坐标系中，点．是坐标原点，AB∥y轴，将△ABO沿A0翻折后，点B落在点D处，AD交y轴于点E，过点D作DC⊥X轴于点C．OB=5，OC=3．
（1）求点A的坐标：
（2）点P从A点出发，沿线段A0以个单位/秒的速度向终点O匀速运动，同时点Q从A点出发，沿射线AD以3个单位，秒的速度匀速运动，当P到达终点时点Q也停止运动．设△PQD的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变．量t的取值范围）：
（3）在（2）的条件下，过点Q作射线AD的垂线交射线A0于点N，交x轴于点M，当t为何值时，MN=PN．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DH⊥AB于H，由条件和勾股定理可以求出CD=BH=4，BC=DH=8，在Rt△AHD中由勾股定理得AH，从而可以求出AB，进而可以求出A的坐标．
（2）当点Q在线段AD上时，过点P作PF⊥AD于F，当点Q在射线AD上时，过点P作PG⊥AD于G，利用三角形相似就可以用t表示出PF或PG，再利用三角形的面积公式就可以表示出△PDQ的面积．
（3）如图3，如图4，作OK⊥MN，OR⊥MN，利用三角形相似的性质可以用含t的式子表示出PN、MN，再根据MN=PN．就可以求出其满足条件的t值．
解答：解：（1）在Rt△ODC中，由勾股定理，得
DC=4．过点D作DH⊥AB于点H，则在Rt△ADH中，
AH²+DH²=AD²
∴（AD-4）²+8²=AD²，
∴AD=10，
∴A（-5，10）


（2）如图1，当点Q在线段AD上时，过点P作PF⊥AD于F．
∴QD=10-3t，AP=t，由△APF∽△AOD，
∴，
∴PF=t，
∴S_△PQD=QD•PF=-t²+5t（0＜t＜）．
当点Q在射线AD上时，过点P作PG⊥AD于G，
∴QD=3t-10，AP=t，同上得：PG=t，
∴S_△PQD=QD•PG=t²-5t（＜t≤5）．


（3）当点Q在线段AQ上时，过点O作OK⊥MN于K，
∴△MOK∽△ODC，
∵OK=QD=10-3t，QN=t，
∴MK=（10-3t），MQ=（10-3t）+5MN=MQ-QN=-t+，
∵MN=PN，
∴MN=（AN-AP），
∴-t+=（-t），
∴t=
当点Q在射线AD上时，过点O作OR⊥MN于R，
∴△MOR∽△ODC．
∵OR=QD=3t-10，QN=t．
∴MR=（3t-10），MQ=5-（3t-10）=-t+，MN=QN-MQ=t-，
∵MN=PN，
∴MN=（AN-AP），
∴t-=（-t），
∴t=4

点评：本题考查了翻折变换，点的坐标，三角形的面积，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质．