Question

（2013•道外区三模）如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC所在平面上一点，且∠BPC=135°，连接PA．
（1）当点P在△ABC外时（如图①），求证：PA-PB=

2

PC．
（2）当点P在△ABC内时（如图②），过点C作CD⊥PA，垂足为D，设BP的延长线交CD于E，若AD=8，CE=5，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）首先过点C作CF⊥CP交BP的延长线于点F，进而得出△CAP≌△CBF（SAS），再利用锐角三角函数关系得出PF=

2

CP，进而得出答案；
（2）首先证明△BCP≌△ACG（SAS），进而得出PB²=AP²-2CP²，再证明△PHK∽△PGA，得出AK=KP，进而得出△CHE≌△PHK（AAS），
得出△PDE∽△CDK，则

PD

CD

=

DE

DK

，得出PB²=AP²-2CP²，进而求出PB的长．

解答：（1）证明：过点C作CF⊥CP交BP的延长线于点F
∵∠BPC=135°，∴∠CPF=∠F=45°，
∴CP=CF，
∵∠ACB=∠PCF=90°，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCF+∠BCP，
即∠ACP=∠BCF，
在△CAP和△CBF中，

AC=CB ∠ACP=∠BCF CP=CF

，
∴△CAP≌△CBF（SAS），
∴AP=BF，
在Rt△CPF中，
cos∠CPF=

CP

PF

=

2

2

，
∴PF=

2

CP，
∴AP=

2

CP+PB，
即PA-PB=

2

PC；

（2）解：过点C作CG⊥CP交BP的延长线于点G，连接AG
∵∠BPC=135°，∴∠CGP=∠CPG=45°，
∴CP=CG，
∵∠ACB=∠PCG=90°，
∴∠ACB-∠ACP=∠PCG-∠ACP，
即∠BCP=∠ACG，
在△BCP和△ACG中，

BC=AC ∠BCP=∠ACG CP=CG

，
∴△BCP≌△ACG（SAS），
∴AG=BP∠CGA=∠BPC=135°，
∴∠AGP=90°，
在Rt△AGP中，AG²+PG²=AP²，
即PB²=AP²-2CP²，
作CH⊥PG交PG于点H，交AP于点K，
∴GH=PH，又∵KH∥AG，
∴△PHK∽△PGA，
∴

PH

PG

=

PK

PA

，∴AK=KP，
∵∠HPC=45°，∴CH=HP，
在△CHE和△PHK中，

∠CEH=∠PKH ∠EHC=∠KHP CH=HP

，
∴△CHE≌△PHK（AAS），
∴KP=CE=5，
∴AP=10，又∵AD=8，∴DP=2，KD=3，
∵△PDE∽△CDK，
∴

PD

CD

=

DE

DK

，∴

2

DE+5

=

DE

3

，
∴DE=1，∴CD=6，
在Rt△CDP中，CD²+DP²=CP²
CP=2

10

，
又∵PB²=AP²-2CP²
∴PB²=10²-2×（2

10

）²=20，
∴PB=2

5

．

点评：此题主要考查了相似形综合应用以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用勾股定理得出PB²=AP²-2CP²是解题关键．