题目内容
如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于D．求证：（1）BE=AE；
（2）
| AB |
| AC |
| AE |
| ED |
考点：三角形的内切圆与内心
专题：证明题
分析：（1）根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，进而得出∠CAB=∠CBA，则∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，即可得出答案；
（2）根据题意得出△ABC∽△EBD，进而求出即可．
（2）根据题意得出△ABC∽△EBD，进而求出即可．
解答：证明：（1）∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，
∴BE=AE，
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，∠DAB+∠EBA=∠DEB，
∴∠CAB=∠DEB，
∵∠C=∠D，
∴∠CBA=∠DBE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEB=∠DBE
∴△ABC∽△EBD，
∴
=
，
∴
=
．
证明：（1）∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，
∴BE=AE，
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，∠DAB+∠EBA=∠DEB，
∴∠CAB=∠DEB，
∵∠C=∠D，
∴∠CBA=∠DBE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEB=∠DBE
∴△ABC∽△EBD，
∴
| AB |
| AC |
| BE |
| DE |
∴
| AB |
| AC |
| AE |
| ED |
点评：本题考查了三角形的内心、等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得出△ABC∽△EBD是解题关键．
练习册系列答案
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