Question

2．如图，已知：DE∥BC，AB∥DF．
（1）求i正：OB²=OE•OF；
（2）联结OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （2）由平行线分线段成比例定理，即可证得OB²=OE•OF；
（3）连接BD，交AC于点H，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证得△ODF∽△OED，即可证得OD²=OE•OF，则得到OB=OD，又由OH⊥BD，即可证得四边形ABCD为菱形．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，AB∥DF，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OC}{OA}$，$\frac{OF}{OB}=\frac{OC}{OA}$，
∴$\frac{OB}{OE}=\frac{OF}{OB}$，
∴OB²=OE•OF；
（2）证明：连接OD，连接BD，交AC于点H，如图所示：
∵DE∥BC，AB∥DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠OBC=∠E，
∴BH=DH，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴$\frac{OD}{OE}=\frac{OF}{OD}$，
∴OD²=OE•OF，
∵OB²=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中，BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等．综合性很强，图形较复杂，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．