Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为(﹣2，0)，CD＝8．

（1）求⊙M的半径；

（2）动点P在⊙M的圆周上运动．①如图1，当EP平分∠AEB时，求PN×EP的值；②如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ⊙M的半径是5；（2）①PN·PE=50; ②是定值，理由见详解.

【解析】

（1）由垂径定理可知OD＝4，连接MD在Rt△OMD中用勾股定理即可求出r．

（2）①连接AP、BP．当EP平分∠AEB时，可得△BAP为等腰直角三角形，求出AP＝，再证△APN∽△EPA得到PN·PE= PA2，进而可得PN×EP的值；

②是定值.由DQ与⊙M于D点，可得△QMD∽△MDO，又MD＝MP，可得，进而证明△QMP∽△PMQ，即可由相似三角形性质求解．

（1）如图1：

∵直径AB⊥CD，CD＝8，

∴OD＝CD＝4，

连接MD设MD＝MA＝r，

在Rt△OMD中．由OM2+OD2＝MD2，

得（r﹣2）2+42＝r2．解得r＝5，

∴⊙M的半径是5；

（2）①如图1（2）

∵．

∴，

∴AE＝CD＝8，

∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

连接AP，BP,

当EP平分∠AEB时，∠BAP＝∠BEP＝∠AEP＝∠ABP＝45°，

△BAP为等腰直角三角形，

∵AB＝10，

∴AP＝，

∵∠PAN=∠PEB=∠AEP, ∠APN=∠EPA,

∴△APN∽△EPA,

∴,

∴PN·PE= PA2=()2=50;

②是定值.

理由如图2：连接PM、DM，

∵DQ与⊙M于D点，

∴∠MDQ＝90°＝∠DOM，

∴∠QMD＝∠DMO，

∴△QMD∽△MDO，

∴，

又∵MD＝MP，

∴，

又∵∠OMP＝∠PMQ，

∴△QMP∽△PMQ，

∴．