Question

如图，M为y轴负半轴上一点，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，延长AM交⊙M于点E，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象过点E，若C（0，2），D（0，-4），则k=

-4

2

．

Answer 1

分析：利用圆的定义可以求得点C、D、M的坐标，根据勾股定理可以求得点A的坐标；由点A、M的坐标易求直线AM的解析式；再由反比例函数与直线的交点易求k的值．

解答：解：∵点E在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴设E（t，

k

t

）（t＞0）．
如图，∵C（0，2），D（0，-4），点M为圆心，
∴CM=3，M（0，-1）．
在直角△AOM中，OA=

AM2-OM2

=

32-12

=2

2

．则A（-2

2

，0）．
设直线AM的解析式为：y=ax+b（a≠0），把A（-2

2

，0），M（0，-1）的坐标代入，得

-2 2 a+b=0 b=-1

，
解得

a=- 2 4 b=-1

，
则直线AM的解析式为：y=-

2

4

x-1；
又∵点E在直线AM上、在圆M上，则

t2+( k t )2=32 k t =- 2 4 t-1

，
解得k=-4

2

．
故答案是：-4

2

．

点评：本题考查了反比例函数解析式，其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及两点间的距离．难度较大．