题目内容

（2013•香坊区二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴负半轴上，S△ABC=28．点P从C出发沿CA向终点A运动，设P点坐标为（t，0）．
（1）求直线CB的解析式；
（2）连接BP，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F，线段EF的垂直平分线交AC于点G，连接BG，求BG的长；
（3）在（2）的条件下，当∠BGA=2∠PBG时，求P点坐标．
分析：（1）求出B的坐标，求出AC=14，得出C的坐标（-10，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，代入求出即可；
（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，求出EG=QG，∠GCQ=∠EAG，根据AAS证△GCQ≌△GAE，推出CG=AG，求出GA=7，OG=3，根据勾股定理求出即可；
（3）①当P在G点左侧时，求出∠BPG=∠PBG，推出PG=BG=5，即可得出P的坐标；②当P1在G点右侧时，求出∠P1BG=∠PBG，∠BP1G=∠BP1G，证△P1GB∽△P1PB，得出比例式，由勾股定理得出P1B2=OB2+OP12，设OP1=x，得出方程（3-x）（8-x）=x2+42，求出即可．
解答：解：（1）∵y=-x+4，
令x=0得：y=4，
∴B（0，4），
∵S△ABC=28，
∴S△ABC=
1
2
AC•OB=
1
2
•AC•4=28，
∴AC=14，
∴OC=10，
∴C（-10，0）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b
∴
-10k+b=0
b=4
，
∴
k=
2
5
b=4
，
∴直线BC的解析式为y=
2
5
x+4；

（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，如图1，
∵CQ∥MG∥AE，ME=MF，
∴EG=QG，∠GCQ=∠EAG，
在△GCQ和△GAE中
∠GCQ=∠EAG
∠CGQ=∠AGE
EG=GQ

∴△GCQ≌△GAE，
∴CG=AG，
∴GA=
1
2
AC=7，
∴OG=GA-OA=7-4=3，
∴BG=
OB2+OG2
=
32+42
=5；

（3）①当P在G点左侧时，如图1，
∵∠BGA=∠PBG+∠BPG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠BPG=∠PBG，
∴PG=BG=5，
∴OP=8
∴P（-8，0）；
②当P1在G点右侧时；如图1′，
∵∠BGA=2∠P1BG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠P1BG=∠PBG，
∠BP1G=∠BP1G，
∴△P1GB∽△P1PB，
∴
BP1
GP1
=
PP1
BP1
，
∴P1B2=P1G•PP1
∵由勾股定理得：P1B2=OB2+OP12，
设OP1=x，
∴（3-x）（8-x）=x2+42
∴x=
8
11
，
∴P1 （-
8
11
，0）；
即P的坐标是（-8，0）或（-
8
11
，0）．
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
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27
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3
3
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2
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2
3
．

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