题目内容

如图，点E在正方形ABCD的边CD上运动，AC与BE交于点F．
（1）如图1，当点E运动到DC的中点时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（2）如图2，当点E运动到CE：ED=2：1时，求△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）当点E运动到CE：ED=3：1时，写出△ABF与四边形ADEF的面积之比；当点E运动到CE：ED=n：1（n是正整数）时，猜想△ABF与四边形ADEF的面积之比（只写结果，不要求写出计算过程）；
（4）请你利用上述图形，提出一个类似的问题

解：（1）如图1，连接DF．
因为点E为CD的中点，所以 $\text{[math]}$ ．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以 $\text{[math]}$ ．
因为S_△DEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△ADF，
所以 $\text{[math]}$ ．

（2）如图2，连接DF．
与（1）同理可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
S_△ABF=S_△ADF，
所以 $\text{[math]}$ ．

（3）当CE：ED=3：1时， $\text{[math]}$ ．
当CE：ED=n：1时， $\text{[math]}$ ．

（4）提问举例：
①当点E运动到CE：ED=5：1时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
②当点E运动到CE：ED=2：3时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少；
③当点E运动到CE：ED=m：n（m，n是正整数）时，△ABF与四边形ADEF的面积之比是多少．
评分说明：提出类似①的问题给1分，类似②的问题给3分，类似③的问题给4分；附加分最多4分，可计入总分，但总分不能超过120分．
分析：连接DF，易得△FEC∽△FBA，根据相似三角形的性质，按前两个小题不同的要求可得△CEF与△ADF的面积的比．
（1）中为 $\text{[math]}$ ；
（2）中为 $\text{[math]}$ ；进而可得△ABF与四边形ADEF的面积之比；
（3）分析可得规律有当CE：ED=n：1时， $\text{[math]}$ 可得答案；
（4）根据（3）的结论，提出类似的问题即可．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．