题目内容
已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．【小题1】如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
【小题2】如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
【小题3】如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
【小题1】①证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．
【小题2】结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：
∠AFC=∠ACB
∠DAC（或这个等式的正确变式）．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC= 60°．
∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC
【小题3】补全图形如下图：
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．解析:
（1）此题只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；
（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；
（3）此题只需补全图形后由图形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．
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