题目内容

如图①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．
（1）求AD的长；
（2）若动点P从点C出发沿CD方向向终点D运动（如图②），在P点运动的过程中，△ABP的面积改变了吗？若改变，请说明理由；若没有改变，那么△ABP的面积为；
（3）在（2）的条件下，过B作BH⊥AP于H（如图③），若 $数学公式$ ，则AP=；
（4）在（2）的条件下，若动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点Q作QM∥CD交BC于M（如图④），探究：四边形PDQM可能为菱形吗？若可能，请求出BM的长；若不可能，请说明理由．

解：（1）过点A作AE∥BC交CD于点E，则四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，
∴AE=AD，
∵∠1=∠C=60°，
∴△AED是正三角形，
∴AD=DE，
∵CE=AB=4，CD=9，
∴ED=DC-DE=5，
∴AD=5．

（2）△ABP的面积不变，理由：过点A作AE⊥CD于点E，
由（1）得正△ADE中∠D=60°，
∴∠2=90°-∠D=30°，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
故△ABP的面积为 $\text{[math]}$ ．

（3）由（2）得 $\text{[math]}$ ，而BH⊥AP，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（4）当MQ=PD=QD时，四边形PDQM是菱形，此时BM的长为0.5．
理由：∵MQ∥PD，
∴当MQ=PD时，四边形PDQM是平行四边形，
∴当QD=PD时，四边形PDQM是菱形，
∴MP∥=QD，
∴∠1=∠D．
∵等腰梯形中，∠D=∠C=60°，
∴∠1=∠C=60°，
∴△CMP和△DPQ均为正三角形，且边长相等．
∴ $\text{[math]}$ ，
∴CM=CP=4.5．
过点B作BE∥AD交CD于点E，则四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD．
∵BC=AD，
∴BC=BE，
∴△BCE是正三角形，
∴BC=CE，
∵ED=AB=4，CD=9，
∴BC=CE=CD-AB=5，
∴BM=BC-CM=0.5．
分析：（1）过点A作AE∥BC，可以得出ABCE是平行四边形，即得出AE=BC，继而得出△AED是正三角形，有AB=4，CD=9，可以得出答案．
（2）过点A作AE⊥CD于点E，作图可以得出∠2=30°，根据三角函数的性质以及勾股定理可以分别求出ED和AE的数值，有AB的值，根据面积公式求解即可．
（3）△ABP的面积有两种表示方法，根据（2）中求得的面积，又知道BH的长度，即可得出AP的值．
（4）作出图形，由MQ∥PD，得出当MQ=PD时，四边形PDQM是平行四边形，当QD=PD时，四边形PDQM是菱形，进而得出∠1=∠C=60°，即△CMP和△DPQ均为正三角形，可以求得CM=CP=4.5，过点B作BE∥AD交CD于点E，则四边形ABED是平行四边形，得出△BCE是正三角形，进而得出当MQ=PD=QD时，四边形PDQM是菱形，此时BM的长为0.5．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，要能够清楚地弄懂题意，合理的作出辅助线是做题的关键．