Question

如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：E是AC的中点；
（2）若AE=3，cos∠ACB=

2

3

，求弦DG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC；
（2）由（1）可得AC=2AE=6，结合cos∠ACB=

2

3

推知sin∠ACB=

5

3

，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度．

解答：（1）证明：连AD，如图
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，
∴AC是⊙O的切线，
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EA，
∴∠EAD=∠EDA，
而∠C=90°-∠EAD，∠CDE=90°-∠EDA，
∴∠C=∠CDE，
∴ED=EC，
∴EA=EC，
即E为AC的中点；

（2）解：由（1）知，E为AC的中点，则AC=2AE=6．
∵cos∠ACB=

2

3

，
设AC=2x，BC=3x，
根据勾股定理，得AB=

BC2-AC2

=（3x）²-（2x）²=

5

x，
∴sin∠ACB=

5

3

．
连接AD，则∠ADC=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°，
∵∠CAD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠ACB，
在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6×

5

3

=2

5

．
在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB=2

5

×

5

3

=

10

3

，
∴DG=2DF=

20

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．