题目内容

如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙P经过原点O，交x的正半轴于点A（2a，0），交y轴的正半轴于点C，经过点P且与x垂直的直线交两弧及圆于点B、D、E，弧OBA与弧ODA关于x轴对称，以点D为顶点且过C点的抛物线交⊙P于另一点F．
（1）当a=3时
①填空：D点的坐标为；E点的坐标为；C点的坐标为__；
②求出此时抛物线的函数关系式及F点的坐标；
③除C点外，直线BC与②中的抛物线是否存在其它公共点？若存在，求其它公共点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数a，使得以D、C、E、F为顶点的四边形组成菱形？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）①连接OP，OD，OB，AB，AD，CE，作CF⊥BE于点G，交⊙P于点F．
∴∠CGE=90°
∵BE⊥AO
∴∠GHO=90°，OB=OA，OH=AH= $\text{[math]}$ OA=a
∵弧OBA与弧ODA关于x轴对称
∴OD=OB，AD=AB
∴OD=OB=AD=AB
∴四边形OBAD是菱形
∴HB=HD
∵∠GHO=90°，∠CGE=90°，∠AOC=90°
∴四边形COHG是矩形
∴CG=OH，GH=CO
∵OC∥BE
∴ $\text{[math]}$
∴CE=OB
∴Rt△CGE≌Rt△OHB
∴GE=HB
∵A（2a，0）
∴OA=2a，且a=3
∴OA=6
∴OH=3，在Rt△OPH中由勾股定理得：
PH= $\text{[math]}$
PH=4
∴HB=1，
∴HD=1，GE=1，GH=CO=8，HE=9
∴D（3，1），B（3，-1），E（3，9），C（0，8）
故答案为：D（3，1），E（3，9），C（0，8）
②设抛物线的解析式为：y=a（x-3）²+1由题意，得
8=9a+1
a= $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为：y= $\text{[math]}$ ，根据抛物线的对称性可以得知
C点F点关于BE对称，当y=8时，求得x=6，所以F（6，8）．
③设BC的解析式为：y=kx+b，则
$\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴直线BC的解析式为：y=-3x+8
∴ $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴除C点外，直线BC与②中的抛物线的另一个公共点为：（ $\text{[math]}$ ）；

（2）设D（a，h），则B（a，-h），E（a，10-h）
假设以D、C、E、F为顶点的四边形组成菱形，则DE与EF互相垂直平分，设DE与EF相交于点G，则DG=EG
∴10-3h=h
∴h= $\text{[math]}$ ，∴BD=2h=5
∴D、P两点重合
∴a= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）①当a=3时，2a=6，利用垂径定理就可以求出OH=3，由勾股定理就可以求出HP，易得HB，可知E点坐标，又根据轴对称很容易得出四边形OBAD是菱形，就得DH=HB而得出点D的坐标．利用三角形全等可以得到GE=HB，求出OC，从而求出C点坐标．
②利用C点和D点的坐标求出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性可知F点的坐标．
③根据B、C的坐标求出BC的解析式，利用两图象的解析式求出交点坐标判断是否存在另一交点．
（2）设出D（a，h），根据菱形的性质：对角线互相垂直平分以及勾股定理就可以求出满足条件的a的值．
点评：本题考查垂径定理，勾股定理，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的运用，待定系数法求函数的解析式等多个知识点．