Question

如图，在等腰梯形ABCD中，∠DCB=60°，AD∥CB，且AD=DC，E与F分别在AD和DC的延长线上，且DE=CF，AF与BE交于点P．
（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出AD=AB，DE=CF，再由等腰梯形的同一底边上的底角相等可得出∠BAE=∠ADF，从而可判断△ABE≌△DAF，也可得出结论．
（2）根据（1）可得∠ABE=∠DAF，再由∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAF=∠BAE，结合题意可得出答案．

解答：解：（1）由题意得，BA=AD（等量代换），∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性质），
又∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代换），
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（对应边相等）；

（2）∵∠DCB=60°，
∴∠BAE=120°，
由△BAE≌△ADF可得∠ABE=∠DAF，
故可得∠BPF=∠ABE+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAE=120°．

点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的各个性质，难度一般．