Question

17．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2-$\sqrt{3}$，求⊙O的半径和BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根据同圆的半径相等得∠1=∠B，可得出三角形为等腰三角形；
（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1=∠C，
∵OB=OE，
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°-75°-75°=30°，
设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=$\sqrt{3}$x，
∴DG=OE=2x，
根据AC=AB得：4x=$\sqrt{3}$x+2x+2-$\sqrt{3}$，
x=1，
∴OE=OB=2，
在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，
cos30=$\frac{OE}{OF}$，OF=$\frac{2}{cos30}$=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2，⊙O的半径为2．

点评 本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二问运用了直角三角形30°角的性质及等腰三角形和矩形的有关性质，关键是找出恰当的等量关系式：AC=AB，设未知数，列关于x的一元一次方程得出结论．