Question

【题目】在中，，，．

（1）如图1，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于点、，若，则________．

（2）如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于点、．若，求证：四边形是菱形；

（3）在（1）（2）的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）存在，满足条件长的值为或10或．

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据，构建方程即可解决问题；
（2）由翻折的性质可得，，然后证明出即可；
（3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，然后根据，，求出，设，分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）在中，∵，，，

∴，

设，

∵，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴或-5（舍弃），

∴，

故答案为5；

（2）由翻折的性质可知：，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是菱形；

（3）如图3中，设，则，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

设，

当时，，

∴，解得：，

当时，，

∴，解得：或，

经检验：或是分式方程的解，且符合题意，

综上所述，满足条件的的长为或10或．