Question

如图，半径为R的⊙O的弦AC=BD，AC、BD交于E，F为

BC

上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：①AE=BE；②若AC⊥BD，则AD=

2

R；③在②的条件下，若

CF

=

CD

，AB=

2

，则BF+CE=1．其中正确的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：①由弦AC=BD，可得

AC

=

BD

，继而可得

BC

=

AD

，然后由圆周角定理，证得∠ABD=∠BAC，即可判定AE=BE；
②连接OA，OD，由AE=BE，AC⊥BD，可求得∠ABD=45°，继而可得△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD=

2

R；
③设AF与BD相交于点G，连接CG，易证得△BGF是等腰三角形，CE=DE=EG，继而求得答案．

解答：解：①∵弦AC=BD，
∴

AC

=

BD

，
∴

BC

=

AD

，
∴∠ABD=∠BAC，
∴AE=BE；

②连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
∴∠AOD=2∠ABE=90°，
∵OA=OD，
∴AD=

2

R；

③设AF与BD相交于点G，连接CG，
∵

CF

=

CD

，
∴∠FAC=∠DAC，
∵AC⊥BD，
∵在△AGE和△ADE中，

∠AEG=∠AED=90° AE=AE ∠EAG=∠DAE

，
∴△AGE≌△ADE（ASA），
∴AG=AD，EG=DE，
∴∠AGD=∠ADG，
∵∠BGF=∠AGD，∠F=∠ADG，
∴∠BGF=∠F，
∴BG=BF，
∵AC=BD，AE=BE，
∴DE=CE，
∴EG=CE，
∴BE=BG+EG=BF+CE，
∵AB=

2

，
∴BE=AB•cos45°=1，
∴BF+CE=1．
故其中正确的是：①②③．
故选D．

点评：此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．