题目内容
如图：在平面直角坐标系中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=3，AD=6，将纸片沿过点M的直线折叠（点M在边AB上），使点B落在边AD上的E处（若折痕MN与x轴相交时，其交点即为N），过点E作EQ⊥BC于Q，交折痕于点P．（1）①当点M分别与AB的中点、A点重合时，那么对应的点P分别是点P1、P2，则P1 ______、P2 ______；②当∠OMN=60°时，对应的点P是点P3，求P3的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c，是经过（1）中的点P1、P2、P3，试求a、b、c的值；
（3）在一般情况下，设P点坐标是（x，y），那么y与x之间函数关系式还会与（2）中函数关系相同吗（不考虑x的取值范围）？请你利用有关几何性质（即不再用P1、P2、P3三点）求出y与x之间的关系来给予说明．
【答案】分析：（1）①点M为AB的中点时，点B与点A重合，即点E与点A重合，则点P为AO的中点，即可得到点P1的坐标，点M与点A重合时，点Q、P、N重合，AE=AO=3，从而得到点P2的坐标；
②根据直角三角形两锐角互余求出∠MNO=30°，根据翻折对称性求出∠QNE=60°，然后解直角三角形求出QN、PQ的长度，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠PEN=30°，连接PO，利用翻折对称性求出∠PON=∠PEN=30°，从而得到∠PON=∠MNO，根据等腰三角形三线合一的性质可得OQ=QN，从而得到点P3的坐标；
（2）利用待定系数法求函数解析式列式求解即可；
（3）连接PO，根据翻折对称性可得PE=PO，然后用点P的坐标表示出PO，在Rt△POQ中，根据勾股定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）①当M与AB的中点重合时，B与A重合，即E与A重合，则点P为OA的中点，
∵AB=3，
∴P1（0，
），
当M与A重合时，Q、P与N重合，
此时，AE=AO=3，
∴P2（3，0）；
故答案为：（0，
），（3，0）；
②当∠OMN=60°时，∠MNO=90°-60°=30°，
根据翻折对称性，∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°，
在Rt△QNE中，tan∠QNE=
，
即
=
，
解得QN=
，
在Rt△PQN中，PQ=QN•tan∠MNO=
tan30°=
×
=1，
连接PO，根据对折的性质，∠PON=∠PEN=90°-60°=30°，
∴∠PON=∠MNO，
∵EQ⊥BC，
∴OQ=QN=
，
∴点P3（
，1）；
（2）∵抛物线经过点P1（0，
），P2（3，0），P3（
，1），
∴
，
解得
，
故，a、b、c的值分别为a=-
，b=0，c=
；
（3）相同．
理由如下：如图，连接OP，根据对折的对称性，△PON≌△PEN，
则PE=OP，
∵AB=3，
∴OP+PQ=EQ=AB=3，
∴OQ=x，PQ=y，PO=3-y，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理，x2+y2=（3-y）2，
整理，x2+y2=9-6y+y2，
y=-
x2+
．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了折叠的性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，难度不是很大，（1）中利用角度的相等求出相等的角，是利用等腰三角形三线合一的性质求解的关键，也是解题的突破点．
②根据直角三角形两锐角互余求出∠MNO=30°，根据翻折对称性求出∠QNE=60°，然后解直角三角形求出QN、PQ的长度，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠PEN=30°，连接PO，利用翻折对称性求出∠PON=∠PEN=30°，从而得到∠PON=∠MNO，根据等腰三角形三线合一的性质可得OQ=QN，从而得到点P3的坐标；
（2）利用待定系数法求函数解析式列式求解即可；
（3）连接PO，根据翻折对称性可得PE=PO，然后用点P的坐标表示出PO，在Rt△POQ中，根据勾股定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）①当M与AB的中点重合时，B与A重合，即E与A重合，则点P为OA的中点，
∵AB=3，
∴P1（0，
），当M与A重合时，Q、P与N重合，
此时，AE=AO=3，
∴P2（3，0）；
故答案为：（0，
），（3，0）；②当∠OMN=60°时，∠MNO=90°-60°=30°，
根据翻折对称性，∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°，
在Rt△QNE中，tan∠QNE=
，即
=，解得QN=
，在Rt△PQN中，PQ=QN•tan∠MNO=
tan30°=×=1，连接PO，根据对折的性质，∠PON=∠PEN=90°-60°=30°，
∴∠PON=∠MNO，
∵EQ⊥BC，
∴OQ=QN=
，∴点P3（
，1）；（2）∵抛物线经过点P1（0，
），P2（3，0），P3（，1），∴
，解得
，故，a、b、c的值分别为a=-
，b=0，c=；（3）相同．
理由如下：如图，连接OP，根据对折的对称性，△PON≌△PEN，
则PE=OP，
∵AB=3，
∴OP+PQ=EQ=AB=3，
∴OQ=x，PQ=y，PO=3-y，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理，x2+y2=（3-y）2，
整理，x2+y2=9-6y+y2，
y=-
x2+．点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了折叠的性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，难度不是很大，（1）中利用角度的相等求出相等的角，是利用等腰三角形三线合一的性质求解的关键，也是解题的突破点．
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