Question

如图，⊙O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在⊙O

上运动．

（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；

（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与⊙O相切的位置关系，若存在，请求出点C的坐标；

（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；

Answer 1

（1）解：（1）当点A的坐标为（，0）时，点C的坐标为（）；

当点A的坐标为（-，0）时，点C的坐标为（）；

（2），连接OA, 当A点在x轴上方时，∵ 直线AB与⊙O相切, ∴ OA⊥AB ，∴∠OMB=90°，OB=2，OA=  ∴sin∠OBA=, ∴∠OBA=60°，∴∠CBx=60°，∴点C的坐标

当A点在x轴下方时，∵∠OBA=60°，∴C点在x轴上，∴点C的坐标为（）

（3）过点A作AE⊥OB于点E

在Rt△OAE中，AE²=OA²-OE²=3-x²，

在Rt△BAE中，AB²= AE²+BE²=（3-x²）+（ 2-x）²=7-4x

∴S== =

其中≤x≤，

当x=时，S的最大值为，

当x=时，S的最小值为．