Question

已知，正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG、CG．

（1）如图1，若△BEF的底边BF在BC上，猜想EG和CG的数量关系为              ；

（2）如图2，若△BEF的直角边BE在BC上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；

（3）如图3，若△BEF的直角边BE在∠DBC内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．

            

图1                     图2                      图3

Answer 1

（1）GC =EG．

（2）如图，延长EG交CD于M，

易证△GEF≌△GMD，得G为EM的中点．

易得CG为直角△ECM的斜边上的中线．

于是有GC＝GE．

（3）如图，延长EG到M，使EG=GM，连接CM、CE．

易证△EFG≌△MDG，则EF=DM、∠EFG=∠MDG．

∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°，

∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°． ∴∠MDC+∠DBE=45°．

∵∠EBC+∠DBE=45°，      ∴∠EBC=∠MDC．

进而易证△CBE≌△CDM，   ∴EC=CM、∠ECB=∠MCD．

易得∠ECM=90°，        ∴CG为直角△ECM斜边EM的中线．

∴EG=GC．

其他证法：（1）EG =CG．

（2）成立．     

证明：过点F作BC的平行线交DC的延长线于点M，连结MG．

∴EF=CM，易证EFMC为矩形       ∴∠EFG=∠GDM．

在直角三角形FMD中，  ∴DG=GF，   ∴FG=GM=GD．

∴∠GMD=∠GDM．      ∴∠EFG=∠GMD． 

∴△EFG≌△GCM．

∴EG=CG．    

（3）成立．取BF的中点H，连结EH，GH，取BD的中点O，连结OG，OC．

∵CB=CD，∠DCB=90°，∴．

∵DG=GF，

∴CO=GH．∵△BEF为等腰直角三角形．

∴． ∴EH=OG．

∵四边形OBHG为平行四边形，  ∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．

∴∠GOC=∠EHG． ∴△GOC≌△EHG． 

∴EG=GC．