Question

（2013•济宁三模）如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=

3

2

．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点M、与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中利用三角函数求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）已知E是DC的中点，则E的纵坐标已知，代入反比例函数的解析式即可求得E的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）首先求得M、N的坐标，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，利用勾股定理求得AN和EM的长，即可证得．

解答：解：（1）由已知条件得，在Rt△OAB中，OB=2，tan∠AOB=

3

2

，∴

AB

OB

=

3

2

，
∴AB=3，∴A点的坐标为（2，3）…（1分）
∴k=xy=6…（2分）
（2）∵DC由AB平移得到，点E为DC的中点，
∴点E的纵坐标为

3

2

，…（3分）
又∵点E在双曲线y=

6

x

上，∴点E的坐标为（4，

3

2

）…（4分）
设直线MN的函数表达式为y=k₁x+b，则

2k1+b=3 4k1+b= 3 2

，解得

k1=- 3 4 b= 9 2

，∴直线MN的函数表达式为y=-

3

4

x+

9

2

．…（5分）

（3）结论：AN=ME…（6分）
理由：在表达式y=-

3

4

x+

9

2

中，令y=0可得x=6，令x=0可得y=

9

2

，
∴点M（6，0），N（0，

9

2

）…（7分）
解法一：延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，OF=3，
∴NF=ON-OF=

3

2

，
∴根据勾股定理可得AN=

5

2

…（8分）
∵CM=6-4=2，EC=

3

2

∴根据勾股定理可得EM=

5

2

∴AN=ME…（9分）
解法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF=2，
∵S_△EOM=

1

2

OM•EC=

1

2

×6×

3

2

=

9

2

，S_△AON=

1

2

ON•AF=

1

2

×

9

2

×2=

9

2

…（8分）
∴S_△EOM=S_△AON，
∵AN和ME边上的高相等，
∴AN=ME…（9分）

点评：本题是待定系数法求一次函数的解析式，以及勾股定理的综合应用，求得E的坐标是关键．