Question

【题目】（阅读理解）

已知：如图，等腰直角三角形中，，是平分线，交边于点.

求证：.

证明：在上截取，连接，

则由已知条件易知：.

∴，

又∵，∴是等腰直角三角形，

∴ ∴.

（数学思考）

现将原题中的“是平分线，交边于点”换成“是的外角平分线，交边的延长线于点”，如图，其他条件不变，请你猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】线段之间的数量关系:DB=AE+AC=AB+AC

【解析】

在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出△EAD≌△BAD，得出∠AED=∠ABD=90°，DB=DE，就可以得出DB=AB+AC.

解：如图，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．

如图，在CA的延长线上截取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠EAB，
∴∠EAD=∠BAD，
在△EAD和△BAD中，

，
△EAD≌△BAD（SAS）．
∴∠AED=∠ABD，DB=DE，
∵AB=BC，∠ABC=90°
∴∠C=45°，∠ABD=90°，
∴∠AED=∠ABD=90°，
∴∠EDC=180°-∠AED -∠C=180°-90°-45°=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC．
∴BD=EC．
∵EC=AE+AC，
∴BD=AE+AC
∴DB=AE+AC=AB+AC.