Question

如图，已知AC⊥CB，D、E分别为AC、CB的中点，且CD=CE=15，则△BEG的面积为

1. A.
   50
2. B.
   60
3. C.
   75
4. D.
   90

Answer 1

C
分析：如图，连接DE、AB．根据三角形的面积公式以及图形推知S_△ACE=S_△BCD，S_△AGB=S_{四边形CDGE}．然后由三角形中位线的性质、相似三角形△DEG∽△BAG的面积的比等于相似比的平方证得
S_△BAG=4S_△DGE，最后利用“分割法”知S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+S_△DCE+S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-S_△DCE=150．
解答：解：如图，连接DE、AB．
∵D、E分别为AC、CB的中点，且CD=CE，
∴AC=2CD，BC=2CE．
又∵AC⊥CB，
∴S_△ACE=CE•AC=×CE•2CD=CE•CD，S_△BCD=CD•BC=×CD•2CE=CE•CD，
∴S_△ACE=S_△BCD，
∴S_△ACE-S_{四边形CDGE}=S_△BCD-S_{四边形CDGE}，即S_△ADG=S_△BEG．
又∵S_△AEB=S_△ACE（等底同高的两个三角形的面积相等），
∴S_△AGB=S_{四边形CDGE}．
∵D、E分别为AC、CB的中点，
∴DE∥AB，=，
∴△DEG∽△BAG，
∴==，
∴S_△BAG=4S_△DGE，
∴S_△DCE=S_△DGE．
∴S_△DCE+S_△DGE+S_△AGB+S_△ADG+S_△BEG=S_△DCE+S_△DCE+S_△DCE+2S_△BEG=S_△ABC，即2S_△BEG=S_△ABC-S_△DCE=×2CE•2CD-××CD•CE=×15×15=150，
则S_△BEG=75．
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答该题时，注意利用“分割法”来求△BEG的面积．