题目内容
（2013•天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（
，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于
？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即
＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．
③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤
时，方法同②．
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
解答：
解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：
BF=OE=2，OF=
=
，
∴点B的坐标是（
，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有
．
解得
．
∴直线AB的解析式是y=
x+4；
（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=
．
如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=
×
=
．
DG=BD•sin60°=
×
=
．
∴OH=EG=
，DH=
∴点D的坐标为（
，
）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴
；而AE=2，BD=OP=
，BE=2
，AB=4，
则有
，解得BG=
，DG=
；
∴OH=
，DH=
；
∴点D的坐标为（
，
）．
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
．
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=
t，
∴DH=2+
t．
∵△OPD的面积等于
，
∴
，
解得
，
（舍去）
∴点P1的坐标为（
，0）．
②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=
=OP，
∴当
＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，DG=-
t，
∴GH=BF=2-（-
t）=2+
t．
∵△OPD的面积等于
，
∴
，
解得
，
，
∴点P2的坐标为（
，0），点P3的坐标为（
，0）．
③当t≤
时，如图3，BD=OP=-t，DG=-
t，
∴DH=-
t-2．
∵△OPD的面积等于
，
∴
（-t）【-（2+
t）】=
，
解得
（舍去），
∴点P4的坐标为（
，0），
综上所述，点P的坐标分别为P1（
，0）、P2（
，0）、P3（
，0）、
P4（
，0）．
点评：本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大．
（2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标．
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）：
①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．
②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即
＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①．③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤
时，方法同②．综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值．
解答：
解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得：BF=OE=2，OF=
=
，∴点B的坐标是（
，2）设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有
．解得
．∴直线AB的解析式是y=
x+4；
（2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=
．如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=
×
=
．DG=BD•sin60°=
×
=
．∴OH=EG=
，DH=
∴点D的坐标为（
，
）方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴
；而AE=2，BD=OP=
，BE=2
，AB=4，则有
，解得BG=
，DG=
；∴OH=
，DH=
；∴点D的坐标为（
，
）．（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
．设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=
t，∴DH=2+
t．∵△OPD的面积等于
，∴
，解得
，
（舍去）∴点P1的坐标为（
，0）．②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=
=OP，∴当
＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，DG=-
t，∴GH=BF=2-（-
t）=2+
t．
∵△OPD的面积等于
，∴
，解得
，
，∴点P2的坐标为（
，0），点P3的坐标为（
，0）．③当t≤
时，如图3，BD=OP=-t，DG=-
t，∴DH=-
t-2．∵△OPD的面积等于
，∴
（-t）【-（2+
t）】=
，解得
（舍去），
∴点P4的坐标为（
，0），综上所述，点P的坐标分别为P1（
，0）、P2（
，0）、P3（
，0）、P4（
，0）．点评：本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大．
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