题目内容
如图，正方形ABCD，E在CD上，以CE为边向外做正方形CEFG，连AF、BF分别交CD于N、M．求证：MN=CM．分析：首先延长FE交AB于点H，由四边形ABCD与四边形CEFG是正方形，易证得四边形BGFH是矩形，△FMN∽△FBA，△BCM∽△BGF，即可得
=
，
=
，继而可得
=
，则可证得结论．
| MN |
| AB |
| EF |
| FH |
| CM |
| FG |
| BC |
| BG |
| MN |
| BC |
| CM |
| BC |
解答：
证明：延长FE交AB于点H，
∵四边形ABCD与四边形CEFG是正方形，
∴AB=BC，EF=FG，AB∥CD∥FG，FE⊥CD，
∴FE⊥AB，
∴四边形BGFH是矩形，
∴FH=BG，
∵AB∥CD∥FG，
∴△FMN∽△FBA，△BCM∽△BGF，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
=
，
∴
=
，
∴MN=CM．
证明：延长FE交AB于点H，∵四边形ABCD与四边形CEFG是正方形，
∴AB=BC，EF=FG，AB∥CD∥FG，FE⊥CD，
∴FE⊥AB，
∴四边形BGFH是矩形，
∴FH=BG，
∵AB∥CD∥FG，
∴△FMN∽△FBA，△BCM∽△BGF，
∴
| MN |
| AB |
| EF |
| FH |
| CM |
| FG |
| BC |
| BG |
∴
| MN |
| BC |
| FG |
| BG |
| CM |
| BC |
| FG |
| BG |
∴
| MN |
| BC |
| CM |
| BC |
∴MN=CM．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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