Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M（2，-1），交x轴与A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线CB对称，求直线CD的解析式．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，将已知的两点坐标代入其中进行求解即可．
（2）由C、B两点的坐标不难判断出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BE⊥x轴交CD于E，结合“直线CD和直线CA关于直线CB对称”可得出A、E关于直线BC对称，结合点B的坐标以及AB的长即可得到点E的坐标，在明确C、E两点坐标的情况下，直线CD的解析式即可由待定系数法求得．

解答：解：（1）将M（2，-1）、B（3，0）代入抛物线的解析式中，得：

4a+2b+3=-1 9a+3b+3=0

，
解得：

a=1 b=-4

．
故抛物线的解析式：y=x²-4x+3；

（2）由抛物线的解析式知：B（3，0）、C（0，3）；
则△OBC是等腰直角三角形，∠OBC=45°．
过B作BE⊥x轴，交直线CD于E（如右图），则∠EBC=∠ABC=45°；
由于直线CD和直线CA关于直线CB对称，所以点A、E关于直线BC对称，则BE=AB=2；
则E（3，2）．
由于直线CD经过点C（0，3），可设该直线的解析式为 y=kx+3，代入E（3，2）后，得：
3k+3=2，解得：k=-

1

3

故直线CD的解析式：y=-

1

3

x+3．

点评：此题主要考查了二次函数综合题主要涉及到：函数解析式的确定、轴对称图形的性质等知识，着重了基础内容的考查．