Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；再将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数）

（1）求点P₆的坐标；（2）求△P₅OP₆的面积；

（3）我们规定：把点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的横坐标x_n、纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，| y_n|）称之为点P_n的“绝对坐标”．根据图中点P_n的分布规律，请你猜想点P_n的“绝对坐标”，并写出来．

 

Answer 1

1）根据旋转规律，点P₆落在y轴的负半轴，而点P_n到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P₆（0，2⁶），即P₆（0，64）；

（2）由已知可得，△P₀OP₁∽△P₁OP₂∽…∽△P_n－1OP_n．

设P₁（x₁，y₁），则y₁=2sin45°=，∴S_△P0OP1=×1×=，又

（3）由题意知，OP₀旋转次之后回到x轴正半轴，在这次中，点P_n分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P_n的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，

①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P_n落在x轴上，此时，点P_n的绝对坐标为（2ⁿ，0）；

②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P_n落在各象限的平分线上，此时，点P_n的绝对坐标为（×2ⁿ，×2ⁿ），即（2^n—1，2^n—1）；

③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P_n落在y轴上，

此时，点P_n的绝对坐标为（0，2ⁿ）．