Question

（2006•崇左）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB=CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若F是⊙O上一点，且，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED²=EB•EP．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知AB=CD，∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，所以△ADC≌△DBA，则AC=BD；
（2）利用同弧所对的圆周角相等可知∠CAF=∠DBA，利用AA可得到△AEB∽△PEA，则EA²=EB•EP，利用等量代换可知ED²=EB•EP．
解答：证明：（1）∵AB=CD，AD=AD，
∴∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，
∴△ADC≌△DBA（SAS）．
∴AC=BD．

（2）∵，
∴∠CAF=∠DBA．
∵∠AEB=∠PEA，
∴△AEB∽△PEA．
∴EA²=EB•EP．
∵EA=ED，
∴ED²=EB•EP．
点评：本题考查三角形相似，全等的判定方法和圆的有关性质．要掌握这些性质和方法才会在综合题中灵活运用．